I numeri di Fibonacci

I numeri di Fibonacci sono una sequenza matematica, i cui elementi e i cui rapporti si riscontrano in una straordinaria varietà di fenomeni naturali e artistici.
A questa sequenza fu dato il nome del suo scopritore duecentesco, Leonardo Pisano, detto Fibonacci. In una sezione del suo famoso trattato, Liber Abaci, questi poneva un problema matematico: Se una coppia di conigli rimane isolata, “quanti conigli nasceranno nel corso di un anno, ammesso che ogni mese una coppia di conigli ne produca un’altra coppia, e che i conigli incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?”.
Per arrivare alla soluzione, possiamo preparare tre liste. Su una segneremo il numero totale delle coppie di conigli alla fine di ogni mese, su un’altra il numero delle coppie feconde, e sulla terza il numero delle coppie immature. Le tre liste risultano identiche (ove si eccettui il fatto che la lista delle coppie immature incomincia con 0, e alla lista di tutte le coppie manca il primo numero di tutta la sequenza, cioè 1). La lista di tutte le coppie per ogni singolo mese si presenta così: 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34, 55, 89, 144, 233 e 377. L’ultima cifra della lista dà la soluzione del problema: nel corso di dodici mesi nasceranno 376 coppie (dobbiamo sottrarre da 377 la prima coppia, che era già nata).
L’intera sequenza di Fibonacci deriva dalla lista delle coppie mature: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ecc. Questa successione numerica ha la proprietà matematica che ogni elemento (a partire dal secondo) è uguale alla somma dei due precedenti. Usando questa formula è possibile estendere la sequenza all’infinito.
La sequenza ha un’altra proprietà matematica interessante, che si può notare calcolando il rapporto di ogni elemento con quello precedente . Partendo dai primi due elementi, il rapporto è 1 – 1, o semplicemente 1. Il secondo rapporto è 2 – 1, o 2. Il terzo è 3 – 2, o 1,5; il quarto è 5 – 3 o circa 1,67; il quinto è 8 – 5, o 1,6. Gli altri sono 1,625, circa 1,615, circa 1,619, circa 1,618.
Nel settecento si scoprì che questi rapporti convergono su un numero irrazionale detto phi, i cui primi termini sono 1,618034. (più precisamente, phi, è 1/2 della radice quadrata di 5 più 1/2.) Questo significa che ogni numero è circa 1,618034 volte più grande del numero che lo precede.
Questo stesso numero phi, aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto come il numero aureo che gli antichi greci chiamavano proporzione divina.
Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea data in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l’intera linea e il segmento più lungo. La divisione della linea era detta sezione aurea, il rapporto proporzionale era la proporzione divina, e il numero con cui era possibile esprimere tale rapporto era il numero aureo o aurea mediocrità. In altre parole, l’intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa 1,618034 più lungo del segmento più corto.
La civiltà greca classica, e in particolare le tradizioni di Pitagora e Platone, tentò di unificare tutte le arti e tutte le scienze secondo rapporti armonici che a loro avviso erano inerenti all’universo. In ogni campo di studio – la società umana, per esempio – ogni individuo aveva un posto unico nella gerarchia di tutti gli individui. I rapporti gerarchici fra gli individui rispecchiavano dei principi matematici, e in particolare la proporzione divina.
Nel Timeo Platone sostiene che i tre termini di una divina proporzione – la più grande (la linea intera), quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) – sono “tutti di necessità gli stessi , non sono che uno”. In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo di tutto l’insieme.
Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei – rettangoli cioè in cui il rapporto fra il lato lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che quella figura fosse gradita all’anima. Se da uno spigolo di rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la facciata dei templi . Il Partenone, sull’Acropoli di Atene, si conforma a questa regola.
Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina. L’ombelico di una statua, per esempio, divideva l’altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all’altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine, dividevano in maniera analoga la testa (vd. figura a lato).
A partire dal rinascimento anche la tradizione europea delle belle arti ha fatto frequente e deliberato uso della proporzione divina nella forma delle tele, nelle dimensioni delle figure e in altri particolari.
Anche i compositori si sono serviti di tale proporzione nelle loro partiture musicali. In questo caso, il tempo sostituisce lo spazio come dimensione da dividere. Per quel che è dato sapere, l’uso musicale della proporzione divina non fu intenzionale fino al Novecento. Ciò convalida l’idea che la proporzione è naturalmente piacevole.
Nell’Ottocento si scoprì che un’elevata percentuale di comuni oggetti rettangolari, quali le carte da gioco, le finestre, le copertine dei libri e ,e cartelle si avvicinano ai rettangoli aurei. Da allora i disegnatori commerciali si sono serviti volutamente delle dimensioni auree per disegnare involucri, vetrine e manifesti pubblicitari.
Una figura geometrica affine, la spirale aurea, è un altro mezzo col quale è possibile vedere la proporzione divina in molti oggetti. Per ottenere questa spirale, si disegni una serie di rettangoli aurei decrescenti uno dentro l’altro. Questo disegno mostrerà anche una serie di quadrati decrescenti. Si disegni ora attraverso questi quadrati una serie di archi circolari che abbiano come raggio i lati dei quadrati. La curva che ne consegue si avvicina alla spirale aurea, detta anche spirale logaritmica. (La precisa equazione della spirale aurea comprende il numero aureo come fattore).
La spirale aurea si può trovare nell’arte di molte culture e molto spesso anche in natura. Parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache al nautilo, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa forma alle ancore. Anche la maggior parte delle corna, delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea e di molte altre galassie.
La spirale aurea compare nella coda delle comete e nella spirale di certi ragni.
Le spirali auree si possono trovare anche nella distribuzione dei semi nel capolino di molte specie di fiori, nell’ordinamento delle scaglie degli ananas e delle brattee sulle pigne.
Si è scoperto che questi ed altri esempi botanici hanno anche un’altra attinenza con la proporzione divina manifestata nella successione numerica di Fibonacci.
Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma meno ripido. Questi sono tre numeri adiacenti delle sequenza di Fibonacci. Il più grande girasole che si sia mai conosciuto aveva 144, 89 e 55 spirali.
In molte specie vegetali, prime fra tutte le Astaracee (girasoli, margherite, ecc.), il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l’esterno – una in senso orario e l’altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci – per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell’altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell’altro. Le scaglie degli ananas presentano un’aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas.
I numeri di Fibonacci si trovano anche nella fillotassi, l’ordinamento delle foglie su un gambo. Su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima. a seconda delle specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l’ottava o la tredicesima foglia.
Queste scoperte in botanica, in zoologia e in astronomia non avrebbero sorpreso gli antichi greci, convinti com’erano dell’armonia geometrica dell’universo. A dire il vero, alcuni dei dati presentati in questo articolo sono stati usati in una moderna teoria di “simmetria dinamica”, elaborata dallo studioso americano Jay Hambridge. Questa teoria attribuisce la potenza dinamica dell’arte greca al suo uso dei “quadrati turbinanti” della proporzione divina.
Forse si troverà ancora qualche principio che colleghi tutti gli esempi naturali di fenomeni aurei e indichi altre manifestazioni non ancora scoperte. Forse gli esseri umani hanno percepito inconsciamente tale principio in questi fenomeni naturali e se ne sono serviti come metro di giudizio per valutare le opere d’arte.
D’altra parte, non è escluso che si tratti soltanto di coincidenze. E’ stato fatto notare che esiste soltanto un numero ordinato di disegni ordinati possibili per gli artisti. Una certa ripetizione di questi disegni è quindi inevitabile.
Inoltre, molte grandi opere d’arte non hanno nessun rapporto apparente con la proporzione divina. E molti esempi si avvicinano soltanto in maniera approssimativa all’ideale. Infine, il gusto per la proporzione divina può essere apparso naturale solo dopo un lungo uso da parte dei greci e dei loro imitatori.
Anche in natura troviamo che alcuni dei fenomeni citati non sono che manifestazioni occasionali o approssimative della spirale aurea o della sequenza di Fibonacci. In ogni caso questi esempi comportano soltanto un numero limitato di fenomeni. Sono state avanzate teorie specifiche in vari campi per spiegare alcuni casi particolari, come la fillotassi (la disposizione delle foglie). Ebbene, queste teorie non hanno alcuna applicazione universale.
Anche se non si trova mai una spiegazione universale, lo studio dei fenomeni aurei e delle successione numerica di Fibonacci può essere visto come un nobile esercizio nella ricerca di unità e di rapporti matematici. In fin dei conti, la ricerca era una caratteristica fondamentale della filosofia greca e anima tuttora la scienza moderna e la magia. 

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